حل تمرین صفحه 57 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این سوال مهم‌ترین نکته در ساده‌سازی رادیکال‌ها با فرجه و توان مساوی را هدف قرار داده است: **تفاوت بین داخل و خارج بودن توان در رادیکال‌های زوج**. ### **تحلیل و پاسخ** تساوی $$\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n$$ زمانی برقرار نیست که یکی از دو طرف تعریف شده باشد و دیگری تعریف نشده باشد، یا هر دو تعریف شده باشند اما نتیجه برابر نباشد. **۱. بررسی طرف راست:** $$\mathbf{(\sqrt[n]{a})^n}$$ * این عبارت تنها زمانی تعریف می‌شود که **$\sqrt[n]{a}$ تعریف شده باشد**. * **اگر $n$ زوج باشد:** $a$ باید $\mathbf{a \ge 0}$ باشد. * **اگر $n$ فرد باشد:** $a$ می‌تواند هر عدد حقیقی باشد. **۲. بررسی طرف چپ:** $$\mathbf{\sqrt[n]{a^n}}$$ * **اگر $n$ زوج باشد:** $a^n$ همواره $\mathbf{a^n \ge 0}$ است، پس رادیکال همیشه تعریف می‌شود. * **اگر $n$ فرد باشد:** رادیکال همیشه تعریف می‌شود. **۳. عدم برقراری تساوی:** تساوی تنها در یک حالت برقرار نیست: زمانی که **طرف چپ تعریف شده** و **طرف راست تعریف نشده** است. این حالت زمانی رخ می‌دهد که: * **$n$ زوج** باشد (چون رادیکال داخل پرانتز باید تعریف نشود) **و** * **$a$ منفی** باشد (چون زیر رادیکال در طرف راست باید منفی شود). **پاسخ نهایی:** تساوی $\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n$ به ازای **$$n \text{ زوج} \quad \text{و} \quad a < 0$$** برقرار نیست. **مثال:** فرض کنید $n=2$ و $a=-4$. * **طرف چپ:** $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$. * **طرف راست:** $(\sqrt{-4})^2 = \text{تعریف نشده (در } \mathbb{R} \text{)}.$ **نتیجه:** $4 \ne \text{تعریف نشده}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۱ این تمرین بر مقایسه‌ی اعداد رادیکالی و توانی با پایه‌های مختلف تأکید دارد. ### **الف) مقایسه‌ی مستقیم** 1. **$$\mathbf{\sqrt[3]{4} \square \sqrt[4]{4}}$$** * **قاعده:** برای اعداد **بزرگ‌تر از ۱** (مانند $4$)، هر چه فرجه **کوچک‌تر** باشد، مقدار رادیکال **بزرگ‌تر** است. * چون $3 < 4$، پس $\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{4}$. * **پاسخ:** $\mathbf{>}$ 2. **$$\mathbf{3^4 \square 4^3}$$** * **محاسبه:** $3^4 = 81$ و $4^3 = 64$. * **پاسخ:** $\mathbf{>}$ 3. **$$\mathbf{(0.5)^2 \square (0.5)^3}$$** * **قاعده:** برای اعداد **بین ۰ و ۱** (مانند $0.5$)، هر چه توان **بزرگ‌تر** باشد، مقدار کل **کوچک‌تر** است. * $$(0.5)^2 = 0.25 \text{ و } (0.5)^3 = 0.125$$ * **پاسخ:** $\mathbf{>}$ --- ### **ب) مقایسه برای $\mathbf{0 < a < 1}$** 1. **$$\mathbf{a^2 \square a^3}$$** * **قاعده:** برای $0 < a < 1$، توان بزرگ‌تر، عدد کوچک‌تر است. * **پاسخ:** $\mathbf{>}$ 2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{a} \square \sqrt{a}}$$** * **قاعده:** برای $0 < a < 1$، هرچه فرجه **کوچک‌تر** باشد، مقدار رادیکال **کوچک‌تر** است. * چون $2 < 3$، $\sqrt[2]{a} < \sqrt[3]{a}$. * **مثال:** $a=0.064$. $\sqrt{0.064} = 0.25$ و $\sqrt[3]{0.064} = 0.4$. پس $0.25 < 0.4$. * **پاسخ:** $\mathbf{<}$ --- ### **پ) مقایسه برای $\mathbf{a > 1}$** 1. **$$\mathbf{a^2 \square a^3}$$** * **قاعده:** برای $a > 1$، توان بزرگ‌تر، عدد بزرگ‌تر است. * **پاسخ:** $\mathbf{<}$ 2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{a} \square \sqrt{a}}$$** * **قاعده:** برای $a > 1$، هرچه فرجه **کوچک‌تر** باشد، مقدار رادیکال **بزرگ‌تر** است. * چون $2 < 3$، $\sqrt[2]{a} > \sqrt[3]{a}$. * **پاسخ:** $\mathbf{>}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۲ (الف) این تمرین به مقایسه‌ی اعداد منفی یا کسری به توان رسیده می‌پردازد. توجه به **توان زوج یا فرد** برای تعیین علامت، و **اندازه‌ی پایه** برای مقایسه قدر مطلق، حیاتی است. 1. **$$\mathbf{(-0.5)^2 \square (-0.5)^3}$$** * **سمت چپ:** توان زوج $\rightarrow$ مثبت. $(0.5)^2 = 0.25$ * **سمت راست:** توان فرد $\rightarrow$ منفی. $(-0.5)^3 = -0.125$ * **نتیجه:** مثبت از منفی بزرگ‌تر است. $\mathbf{>}$ 2. **$$\mathbf{(-2)^3 \square (-2)^2}$$** * **سمت چپ:** توان فرد $\rightarrow$ منفی. $(-2)^3 = -8$ * **سمت راست:** توان زوج $\rightarrow$ مثبت. $(-2)^2 = 4$ * **نتیجه:** منفی از مثبت کوچک‌تر است. $\mathbf{<}$ 3. **$$\mathbf{(-0.5)^3 \square (-0.5)^5}$$** * **تحلیل:** هر دو منفی هستند و $|-0.5| < 1$. هر چه توان بزرگ‌تر باشد، قدر مطلق کوچک‌تر است، پس عدد به صفر نزدیک‌تر (و در واقع بزرگ‌تر) است. * $$(-0.5)^3 = -0.125 \text{ و } (-0.5)^5 = -0.03125$$ * **نتیجه:** $\mathbf{<}$ 4. **$$\mathbf{(-2)^3 \square (-2)^5}$$** * **تحلیل:** هر دو منفی هستند و $|-2| > 1$. هر چه توان بزرگ‌تر باشد، قدر مطلق بزرگ‌تر است، پس عدد **کوچک‌تر** است (دورتر از صفر است). * $$(-2)^3 = -8 \text{ و } (-2)^5 = -32$$ * **نتیجه:** $\mathbf{>}$ 5. **$$\mathbf{(0.5)^4 \square (-0.5)^3}$$** * **سمت چپ:** مثبت است. $(0.5)^4 = 0.0625$ * **سمت راست:** منفی است. $(-0.5)^3 = -0.125$ * **نتیجه:** مثبت از منفی بزرگ‌تر است. $\mathbf{>}$ 6. **$$\mathbf{(-2)^4 \square (-2)^3}$$** * **سمت چپ:** مثبت است. $(-2)^4 = 16$ * **سمت راست:** منفی است. $(-2)^3 = -8$ * **نتیجه:** مثبت از منفی بزرگ‌تر است. $\mathbf{>}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۳ این تمرین به اثبات رسمی یکی از ساده‌ترین و بنیادی‌ترین خاصیت‌های رادیکال‌ها، یعنی **حذف توان توسط رادیکال هم‌فرجه**، می‌پردازد. این اثبات مستقیماً از تعریف ریشه $n$اُم نشأت می‌گیرد. ### **اثبات رابطه $(\sqrt[n]{a})^n = a$** **فرض:** $\sqrt[n]{a}$ یک مقدار حقیقی تعریف شده است (یعنی اگر $n$ زوج باشد، $a \ge 0$). **گام ۱: استفاده از تعریف ریشه‌ی $n$اُم** بر اساس تعریف، اگر $\sqrt[n]{a} = b$ باشد، این به آن معناست که **$$b^n = a$$**. **گام ۲: جایگذاری** در تساوی مورد نظر (طرف چپ)، به جای $\sqrt[n]{a}$، مقدار معادل آن ($b$) را قرار می‌دهیم: $$ (\sqrt[n]{a})^n = (b)^n $$ **گام ۳: استفاده از تعریف مجدد** از گام ۱ می‌دانیم که $b^n = a$. پس جایگذاری نهایی را انجام می‌دهیم: $$ (b)^n = a $$ **نتیجه‌گیری:** از این زنجیره‌ی تساوی‌ها نتیجه می‌شود که: $$\mathbf{(\sqrt[n]{a})^n = a}$$ **توضیح:** این رابطه به ما می‌گوید که **ریشه‌ی $n$اُم یک عدد، دقیقاً آن عددی است که اگر به توان $n$ برسد، به $a$ باز می‌گردد.** به عبارت دیگر، عملیات رادیکال‌گیری و توان‌رسانی با فرجه و توان برابر، عملیات معکوس و خنثی‌کننده‌ی یکدیگر هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۴ سلام! این سوال به شما یادآوری می‌کند که **خاصیت جمع رادیکال‌ها** وجود ندارد و رادیکال بر روی جمع توزیع‌پذیر نیست. ### **تحلیل و پاسخ** تساوی $\mathbf{\sqrt[n]{a + b} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}$ **برقرار نیست** (مگر در حالت‌های خاصی که $a=0$ یا $b=0$). برای اثبات عدم برقراری، کافی است یک **مثال نقض** پیدا کنیم: #### **مثال نقض (حالت $n=2$ - ریشه‌ی دوم)** * **فرض:** $n=2$، $a=9$ و $b=16$ (اعدادی که ریشه‌ی کامل دارند.) 1. **طرف چپ (جمع زیر رادیکال):** $$\sqrt{a + b} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$$ 2. **طرف راست (جمع رادیکال‌ها):** $$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = \mathbf{7}$$ * **نتیجه:** $5 \ne 7$. بنابراین تساوی برای $n=2$ برقرار نیست. #### **مثال نقض (حالت $n=3$ - ریشه‌ی سوم)** * **فرض:** $n=3$، $a=1$ و $b=8$ (اعدادی که ریشه‌ی سوم کامل دارند.) 1. **طرف چپ:** $$\sqrt[3]{a + b} = \sqrt[3]{1 + 8} = \sqrt[3]{9}$$ 2. **طرف راست:** $$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = \mathbf{3}$$ * **نتیجه:** $\sqrt[3]{9} \approx 2.08$. پس $2.08 \ne 3$. بنابراین تساوی برای $n=3$ برقرار نیست. **جمع‌بندی:** ریشه گرفتن از یک جمع، **متفاوت** از جمع کردن ریشه‌ها است. (مانند توزیع توان بر روی جمع). $$\mathbf{\sqrt[n]{a + b} \ne \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۶ این تمرین در مورد **خاصیت تقسیم رادیکال‌ها** است. این خاصیت به شرطی برقرار است که تمام رادیکال‌های موجود در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شده باشند. ### **الف) برقراری تساوی $\mathbf{\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$** برای برقراری تساوی، کافی است حالتی را در نظر بگیریم که رادیکال‌ها تعریف شده باشند (مثلاً $n$ فرد باشد) یا $n$ زوج باشد و زیر رادیکال‌ها نامنفی باشند. **مثال ۱: فرجه فرد** * $\mathbf{n = 3}$ (فرد) * $\mathbf{a = -16}$ (منفی) * $\mathbf{b = 2}$ (مثبت) 1. **طرف چپ:** $\sqrt[3]{\frac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = \mathbf{-2}$ 2. **طرف راست:** $\frac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = \mathbf{-2}$ **نتیجه:** تساوی برقرار است. ($\mathbf{n=3, a=-16, b=2}$) #### **مثال ۲: فرجه زوج** * $\mathbf{n = 4}$ (زوج) * $\mathbf{a = 81}$ (مثبت) * $\mathbf{b = 16}$ (مثبت) 1. **طرف چپ:** $\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}$ 2. **طرف راست:** $\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}$ **نتیجه:** تساوی برقرار است. ($\mathbf{n=4, a=81, b=16}$) --- ### **ب) عدم برقراری تساوی $\mathbf{\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$** تساوی زمانی برقرار نیست که $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ تعریف شده باشد اما $\sqrt[n]{a}$ یا $\sqrt[n]{b}$ تعریف نشده باشند. این تنها زمانی رخ می‌دهد که: * **$n$ زوج** باشد (زیرا رادیکال‌های زوج برای اعداد منفی تعریف نمی‌شوند) **و** * $a$ و $b$ **هر دو منفی** باشند. **مثال نقض:** * $\mathbf{n = 2}$ (زوج) * $\mathbf{a = -4}$ (منفی) * $\mathbf{b = -1}$ (منفی) 1. **طرف چپ:** $\sqrt[2]{\frac{-4}{-1}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$ 2. **طرف راست:** $\frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-1}} = \frac{\text{تعریف نشده}}{\text{تعریف نشده}} = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$ **نتیجه:** تساوی برقرار نیست. ($\mathbf{n=2, a=-4, b=-1}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 57 ریاضی دهم - مسئله ۵ این تمرین شامل **توان‌های منفی** و **رادیکال‌های تو در تو** است. از خواص توان و رادیکال برای ساده‌سازی استفاده می‌کنیم. 1. **$$\mathbf{\sqrt[5]{2^{-5}}}$$** * **روش ۱ (قانون $\sqrt[n]{a^n}$):** فرجه $5$ (فرد) است. توان و فرجه مساوی هستند، پس حاصل برابر با پایه است. $$\sqrt[5]{2^{-5}} = \mathbf{2^{-1}} \quad \text{یا} \quad \mathbf{\frac{1}{2}}$$ * **روش ۲ (توان منفی):** $$\sqrt[5]{2^{-5}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{1}{2}$$ 2. **$$\mathbf{\sqrt[7]{\frac{1}{\sqrt[5]{128}}}}$$** * ابتدا $128$ را به توان تبدیل می‌کنیم: $128 = 2^7$. * $$ \sqrt[7]{\frac{1}{\sqrt[5]{2^7}}} = \sqrt[7]{\frac{1}{2^{\frac{7}{5}}}} $$ * $$ = \sqrt[7]{2^{-\frac{7}{5}}} = \left( 2^{-\frac{7}{5}} \right)^{\frac{1}{7}} = 2^{-\frac{7}{5} \times \frac{1}{7}} $$ * $$ = 2^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt[5]{2}}} $$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-3^{-3}}}$$** * **روش ۱ (توان منفی):** $$-3^{-3} = -\frac{1}{3^3} = -\frac{1}{27}$$ * $$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{-1}{3} = \mathbf{-\frac{1}{3}}$$ * **روش ۲ (قانون $\sqrt[n]{a^n}$):** $$\sqrt[3]{-3^{-3}} = \sqrt[3]{(-3)^{-3}}$$ * (چون $-3$ به توان $-3$ همان $-1/27$ است.) فرجه و توان مساوی هستند و فرجه فرد است. * $$\sqrt[3]{(-3)^{-3}} = -3^{-1} = \mathbf{-\frac{1}{3}}$$ | عبارت | پاسخ نهایی | | :---: | :---: | | $\sqrt[5]{2^{-5}}$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ | | $\sqrt[7]{\frac{1}{\sqrt[5]{128}}}$ | $\mathbf{\frac{1}{\sqrt[5]{2}}}$ | | $\sqrt[3]{-3^{-3}}$ | $\mathbf{-\frac{1}{3}}$ |